\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\Leftrightarrow x=y=z\)

M =\(\frac{y^{670.3}}{y^{2012}}=\frac{y^{2010}}{y^{2012}}=\frac{1}{y^2}\)

Đề sai nhé  mẫu mũ 2010  => M =1  mới đúng

Ờm thì đại khái như vầy , dùng thêm hằng cao cấp mới chơi được =))

Link : Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ – Wikipedia tiếng Việt 

Dùng hằng mở rộng số 4

Ta có :

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\)

\(\Leftrightarrow ayz+bxz+cxy=0\) (1)

Lại có :

\(\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)^2=\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1^2=1\) (chỗ này dùng cái skill mở rộng) 

<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{ayz}{abc}+\frac{bzx}{abc}\right)=1\)

<=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)

Thay 1 vào 

=> \(\frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2}=1\)

mình giải hơi khác 1 chút, nhưng thôi cx đc

Sửa lại :

Lại có :

\(\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xyc}{abc}+\frac{yza}{abc}+\frac{zxb}{cba}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2.\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

a, Áp dụng TCDTSBN ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

=> a = b = c 

b, Áp dung TCDTSBN ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)

=> x = y = z

Vậy \(\frac{x^{333}.y^{666}}{z^{999}}=\frac{z^{333}.z^{666}}{z^{999}}=\frac{z^{999}}{z^{999}}=1\)

c, ac = b² => \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\left(1\right)\)

ab = c² => \(\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)

Áp dụng TCDTSBN ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

=> a = b = c

Vậy \(\frac{b^{333}}{c^{111}.a^{222}}=\frac{b^{333}}{b^{111}.b^{222}}=\frac{b^{333}}{b^{333}}=1\)

a, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)

Vậy a = b ; a = c ; c = a => a=b=c

b, Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)

=> x = y; y = z; z = x => x = y = z

\(\Rightarrow\frac{x^{333}.y^{666}}{z^{999}}=\frac{z^{333}.z^{666}}{z^{999}}=\frac{z^{333+666}}{z^{999}}=\frac{z^{999}}{z^{999}}=1\)

c,

Theo đề bài:

ac = bb <=> bb/a = c

ab = cc <=> ab/c = c

=> bb/a = ab/c

=> bbc = aab 

=> bc = ab

Mà cc = ab => cc = bc => b = c

ac/b = b

cc/a = b

=> ac/b = cc/a

=> aac = bcc

=> aa = bc

Mà bc = cc => aa = cc => a = c

=> a = b = c

\(\Rightarrow\frac{b^{333}}{c^{111}.a^{222}}=\frac{b^{333}}{b^{111}.b^{222}}=\frac{b^{333}}{b^{333}}=1\)

câu 1 là :từ a/x + b/y + c/z =0 suy ra (ayz+bxz+cxy)/xyz =0 suy ra ayz+bxz+cxy=0 (1)

vì x/a + y/b + z/c =1 (gt) suy ra (x/a + y/b + z/c )^2 = 1^2 . suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2(xy/ab + yz/bc + xz/ac) =1

suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 + 2[(ayz+bxz+cxy)/abc = 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 =1 (đpcm)

câu 3 98

Tks pạn nhìu @!

Bài 20: 

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=\frac{x+y+z}{y+z+x}=1\)

=> x = y; y = x

=> x = y = z

mà \(M=\frac{x^{670}.y^{670}.z^{670}}{y^{2012}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{y^{670}.y^{670}.y^{670}}{y^{2012}}=\frac{y^{2010}}{y^{2012}}=\frac{1}{y^2}\)

b) a + c = 2b

=> d(a + c) = 2bd

=> ad + cd = 2bd  (1)

Có: c(b + d) = 2bd

=> cb + cd = 2bd  (2)

(1);(2) => ad + cd = cb + cd

=> ad = cb

=> a/b = c/d

=> đpcm

đợi nghĩ nốt c đã

ừ, thay chỗ M đi, thế x=y=z vào, rõ là giang biết mà ko làm, làm đi chứ, tui đầu óc ngu si làm sai ko à

c) x² = yz => x/y = z/x

y² = zx => x/y = y/z

=> x/y = z/x = y/z 

=> x/y = z/x = y/z = (x+z+y)/(y+x+z) = 1

=> x = y; y = z

=> x = y = z

=> đpcm

Ta có: \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\Leftrightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\cdot\frac{xyc+yza+zxb}{abc}=1\)

Mà \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\Leftrightarrow\frac{yza+zxb+xyc}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow yza+zxb+xyc=0\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

Đơn giản thôi!!

Từ giả thiết, suy ra

\(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{2y}{4a+2b-2c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{x+2y+z}{9a}\) (1)

\(\frac{2x}{2a+4b+2c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{2x+y-z}{9b}\) (2)

\(\frac{4x}{4a+8b+4x}=\frac{4y}{8a+4b-4c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{4x-4y+x}{9c}\) (3)

Từ (1) , (2) và (3) suy ra:

\(\frac{x+2y+z}{9a}=\frac{2x+y-z}{9b}=\frac{4x-4y+z}{9c}\)

\(\frac{9a}{x+2y+z}-\frac{9b}{2x+y-z}=\frac{9c}{4x-4y+z}\)

\(\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2x+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}^{\left(đpcm\right)}\)

Thằng này tự đăng tự làm cho đúng làm gì ???? ảo

Làm ơn bớt trẻ con  và suy nghĩ người lớn giùm cái, giỏi thì solo vs anh đây nè!